量子计数

为了理解这个算法，你首先需要理解 Grover 算法和量子相位估计算法。与 Grover 算法试图找到 Oracle 的解不同，量子计数算法告诉我们有多少这样的解。这个算法很有趣，因为它结合了量子搜索和量子相位估计。

1. 概述

1.1 直观理解

在量子计数中，我们只需使用量子相位估计算法来找到一个 Grover 搜索迭代的特征值。 Grover 算法的一次迭代 $G$ 在 $|\omega\rangle$ ， $|s’\rangle$ 基下将状态向量旋转 $\theta$ ：

搜索空间中的解的百分比影响 $|s\rangle$ 和 $|s’\rangle$ 之间的差异。例如，如果没有很多解， $|s\rangle$ 会非常接近 $|s’\rangle$ ，而 $\theta$ 会非常小。事实证明，Grover 迭代器的特征值是 $e^{\pm i\theta}$ ，我们可以使用量子相位估计 (QPE) 来提取这个值，从而估计解的数量 ( $M$ )。

1.2 深入探讨

在 $|\omega\rangle$ ， $|s’\rangle$ 基下，我们可以将 Grover 迭代器写成矩阵形式：

$G = \begin{pmatrix} \cos{\theta} && -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} && \cos{\theta} \end{pmatrix}$

矩阵 $G$ 有特征向量：

$\begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}$

对应的特征值为 $e^{\pm i\theta}$ 。我们不需要将寄存器准备这两个状态中的任何一个，状态 $|s\rangle$ 位于 $|\omega\rangle$ ， $|s’\rangle$ 张成的空间中，是两个向量的叠加态。
$|s\rangle = \alpha |\omega\rangle + \beta|s’\rangle$

因此， QPE 算法的输出将是两个相位的叠加，当我们测量寄存器时，将获得这两个值中的一个。我们可以使用一些简单的数学运算来估计 $M$ 。

2. 代码实现

2.1 初始化代码

我们选择在线路的前 4 个量子比特上进行”计数”（我们将计数量子比特数称为 $t$ ，所以 $t = 4$ ），并在最后 4 个量子比特上进行”搜索”( $n = 4$ )。基于此，我们可以开始创建量子线路的构建块。

2.2 受控 Grover 迭代

Grover 算法中有一个我们知道有 5 个解 ( $M = 5$ ) 的 16 个态 ( $N = 2^n = 16$ ) 的 Oracle，与扩散算子结合使用:

import deepquantum as dq


def example_grover_iteration():
    """Small circuit with 5/16 solutions"""
    # Do circuit
    cir = dq.QubitCircuit(4)
    # Oracle
    cir.h(2)
    cir.h(3)
    cir.ccx(0,1,2)
    cir.h(2)
    cir.x(2)
    cir.ccx(0,2,3)
    cir.x(2)
    cir.h(3)
    cir.x(1)
    cir.x(3)
    cir.h(2)
    cir.x(2,[0,1,3])
    cir.x(1)
    cir.x(3)
    cir.h(2)
    # Diffuser
    cir.hlayer([0,1,2])
    cir.xlayer([0,1,2])
    cir.z(3)
    cir.x(3,[0,1,2])
    cir.xlayer([0,1,2])
    cir.hlayer([0,1,2])
    cir.z(3)
    return cir

我们可以使用 .get_unitary() 和 .any 从量子线路创建一个受控门。我们将 Grover 迭代器称为 grit：

# Create controlled-Grover
grit = example_grover_iteration().get_unitary()
cir_test = dq.QubitCircuit(5)
cir_test.any(unitary=grit,wires=[1,2,3,4],controls=0,name="_Grover")
cir_test.draw()

2.3 逆量子傅里叶变换

我们现在需要创建一个逆量子傅里叶变换。我们使用 t = 4 个量子比特创建这个门，因为这是我们在本案例中选择的计数量子比特数。

qft = dq.QuantumFourierTransform(nqubit=4, minmax=[0, 3], reverse=True).inverse()
qft.draw()

2.4 组合量子线路

我们现在已经拥有完成线路所需的一切！让我们把它组合在一起。

# 创建量子电路
t = 4   # 计数量子位的数量
n = 4   # 搜索量子位的数量
cir = dq.QubitCircuit(n+t) # 一个包含 n+t 个量子位和 t 个经典位的电路

# 初始化所有量子位到 |+>
cir.hlayer()

# 开始受控Grover迭代
iterations = 1
for qubit in range(t):
    for i in range(iterations):
        cir.any(unitary=grit,wires=list(range(t, n+t)),controls=qubit,name="_Grover")
    iterations *= 2

# 在计数量子位上执行逆量子傅里叶变换
cir.barrier()
cir.add(dq.QuantumFourierTransform(nqubit=n+t, minmax=[0,t-1], reverse=True).inverse())

# 测量计数量子位
cir.barrier()
cir.measure(wires=list(range(t)))

# 显示电路图
cir.draw()

c:\Users\HP\.conda\envs\dq\lib\site-packages\qiskit\visualization\circuit\matplotlib.py:266: FutureWarning: The default matplotlib drawer scheme will be changed to "iqp" in a following release. To silence this warning, specify the current default explicitly as style="clifford", or the new default as style="iqp".
  self._style, def_font_ratio = load_style(self._style)

cir()

res = cir.measure(wires=list(range(t)))
print(res)

{'1011': 510, '0101': 514}

import matplotlib.pyplot as plt

# 将数据分解为X和Y轴的值
labels = list(res.keys())
values = list(res.values())

# 创建条形图
plt.figure(figsize=(8, 5))  # 设置图形大小
plt.bar(labels, values)  # 绘制条形图

3. 仿真结果

我们可以看到有两个值特别突出，具有比其他值高得多的测量概率。这两个值对应于 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$ ，但我们还看不到解的数量。我们需要再做一些处理才能得到这个信息。

我们将从输出数据中获取最可能结果的字符串，再将其存储为整数：

measured_str = max(res, key=res.get)
measured_int = int(measured_str,2)
print("Register Output = %i" % measured_int)

Register Output = 5

4. 求解的数量 (M)

首先，我们要从 measured_int 中得到 $\theta$ 。你会记得 QPE 给我们一个测量值 $\text{value} = 2^n \phi$ ，来自特征值 $e^{2\pi i\phi}$ ，所以为了得到 $\theta$ ，我们需要：

$\theta = \text{value}\times\frac{2\pi}{2^t}$

我们可以从 $|s\rangle$ 和 $|s’\rangle$ 的内积中得到角度 $\theta/2$ ：

$\langle s’|s\rangle = \cos{\tfrac{\theta}{2}}$

并且 $|s\rangle$ (计算基态的均匀叠加) 可以用 $|\omega\rangle$ 和 $|s’\rangle$ 来表示：

$|s\rangle = \sqrt{\tfrac{M}{N}}|\omega\rangle + \sqrt{\tfrac{N-M}{N}}|s’\rangle$

$|s\rangle$ 和 $|s’\rangle$ 的内积是：

$\langle s’|s\rangle = \sqrt{\frac{N-M}{N}} = \cos{\tfrac{\theta}{2}}$

易知：

$N\sin^2{\frac{\theta}{2}} = M$

量子计数算法将告诉我们有多少状态不是解。我们简单地计算 $N-M$ 。

用代码表示:

import math
theta = (measured_int/(2**t))*math.pi*2

N = 2**n
M = N * (math.sin(theta/2)**2)
print("No. of Solutions = %.1f" % (N-M))

No. of Solutions = 4.9

我们可以看到，我们得到了（近似）正确的答案，我们可以使用以下公式近似计算这个答案的误差[1]：

m = t - 1 # Upper bound: Will be less than this 
err = (math.sqrt(2*M*N) + N/(2**(m+1)))*(2**(-m))
print("Error < %.2f" % err)

Error < 2.48

5. 参考文献

[1] Nielsen M A, Chuang I L. Quantum computation and quantum information[M]. Cambridge university press, 2010.

文档链接

案例代码