高斯玻色采样（Gaussian Boson Sampling）

数学背景

高斯玻色采样(GBS)可以作为玻色采样的一种变体，不同之处在于输入的量子态是高斯压缩态而不是离散的Fock态。压缩态是高斯态的一种，高斯态指的是这个量子态对应的Wigner函数是高斯分布，比如相干态。单模压缩态的Wigner函数对应的高斯分布在 $X$ ， $P$ 两个正交分量上会压缩或者拉伸，单模压缩态可以将压缩门作用到真空态上得到，也可以用下面的Fock态基矢展开[2]，需要注意的是这里的Fock态光子数从0到无穷大取偶数，因此输出的量子态的空间是无限大且只包含偶数光子数的Fock态空间。

$\left|\mathrm{sq}_R\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{\cosh r}} \sum_{m=0}^{\infty}(-\tanh r)^m \frac{\sqrt{(2 m)!}}{2^m m!}|2 m\rangle$

GBS采样概率的理论计算和玻色采样类似，不同之处在于对粒子数分辨探测器和阈值探测器两种情况，分别需要用hafnian函数和torotonian函数来计算。

粒子数分辨探测器

在探测端口使用粒子数分辨探测器时对应数学上需要计算hafnian函数，对于 $2m\times 2m$ 对称矩阵 $A$ 的hafnian定义如下[3]，

$\operatorname{haf}(\boldsymbol{A})=\sum_{M \in \operatorname{PMP}(n)} \prod_{(i, j) \in M} A_{i, j}$

这里PMP表示所有完美匹配排列的集合，当 $n=4$ 时， $PMP(4) = {(0,1)(2,3),(0,2)(1,3),(0,3)(1,2)}$ ，对应的矩阵 $B$ 对应的hafnian如下

$haf(B) = B_{0,1}B_{2,3}+B_{0,2}B_{1,3} + B_{0,3}B_{1,2}$

在图论中，hafnian计算了图 $G$ 对应的邻接矩阵A描述的图的完美匹配数(这里图 $G$ 是无权重，无环的无向图)，比如邻接矩阵
$A =\begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{pmatrix}$ ，haf(A)=3，对应的完美匹配图如下。

当计算的图是二分图时，得到的hafnian计算结果就是permanent。

$\textrm{haf}\left(\left[\begin{array}{cc} 0 & \mathbf{W}\\ \mathbf{W}^{T} & 0 \end{array}\right]\right)=\textrm{per}\left(\mathbf{W}\right)$

因此任何计算hafnian的算法也可以用来计算permanent，同样的计算hafnian也是 $\#P$ 难问题。

对于粒子数探测器，输出的Fock态 $S = (s_1, s_2,..,s_m)$ 时，对应的 $s_i=0,1,2\dots$ ，输出态的概率理论计算如下

$\operatorname{Pr}(S)=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{det}(\boldsymbol{Q})}} \frac{\operatorname{Haf}\left(\boldsymbol{\mathcal { A }}_S\right)}{s_{1}!s_{2}!\cdots s_{m}!},$

这里 $Q,A,X$ 的定义如下，

$\begin{aligned} & \boldsymbol{Q}:=\boldsymbol{\Sigma}+\mathbb{I} / 2, \\ & \mathcal{A}:=\boldsymbol{X}\left(\mathbb{I}-\boldsymbol{Q}^{-1}\right), \\ & \boldsymbol{X}:=\left[\begin{array}{ll} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right] . \end{aligned}$

$Q,A$ 由输出量子态的协方差矩阵 $\Sigma$ 决定 ( $\Sigma$ 描述的是 $a,a^{\dagger}$ 的协方差矩阵)，子矩阵 $A_s$ 由输出的Fock态决定，具体来说取矩阵 $A$ 的 $i, i+m$ 行和列并且重复 $s_i$ 次来构造 $A_s$ 。如果 $s_i=0$ ，那么就不取对应的行和列，如果所有的 $s_i=1$ , 那么对应的子矩阵 $A_s = A$ 。

考虑高斯态是纯态的时候，矩阵 $A$ 可以写成直和的形式， $A = B \oplus B^*$ , $B$ 是 $m\times m$ 的对称矩阵。这种情况下输出Fock态的概率如下

$\operatorname{Pr}(S)=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{det}(\boldsymbol{Q})}} \frac{\left|\operatorname{Haf}\left(\boldsymbol{A}_S\right)\right|^2}{s_{1}!s_{2}!\cdots s_{m}!},$

这里的子矩阵 $B_s$ 通过取 $i$ 行和 $i$ 列并且重复 $s_i$ 次来构造，同时这里hafnian函数计算的矩阵维度减半，可以实现概率计算的加速。

当所有模式输出的光子数 $s_i = 0,1$ 时，对应的 $A_s$ 是A的子矩阵，也对应到邻接矩阵A对应的图 $G$ 的子图，利用这个性质可以解决很多子图相关的问题，比如稠密子图，最大团问题等。

阈值探测器

使用阈值探测器时对应的输出Fock态概率 $S = (s_1, s_2,..,s_m)，s_i\in {0,1}$ ，此时理论概率的计算需要用到Torontonian函数[4]

$p(S)=\frac{\operatorname{Tor}\left[\boldsymbol{O}_{(S)}\right]}{\sqrt{\operatorname{det}(\boldsymbol{\Sigma})}}$

$\operatorname{Tor}\left[\boldsymbol{O}_{(S)}\right]=\operatorname{Haf}\left[\boldsymbol{X} \boldsymbol{O}_{(S)}\right]+\sum_{S^{\prime} \in \mathcal{C}_S} \frac{\operatorname{Haf}\left[\boldsymbol{X} \boldsymbol{O}_{\left(S^{\prime}\right)}\right]}{s_1^{\prime}!\cdots s_{\ell}^{\prime}!}$

这里 $O_s = I-(\Sigma^{-1})_s$ ，直观上来看对于阈值探测器对应的特定的Fock态输出只需要将粒子数分辨探测器对应的多个Fock态概率求和即可。

代码演示

下面简单演示6个模式的高斯玻色采样任务

import numpy as np
import deepquantum as dq

squeezing = [1]*6
unitary = np.eye(6)
gbs = dq.photonic.GaussianBosonSampling(nmode=6, squeezing=squeezing, unitary=unitary)
gbs()
gbs.draw() #画出采样线路

设置粒子数分辨探测器开始采样并输出Fock态结果

gbs.detector = 'pnrd'
result = gbs.measure(shots=1024)
print(result)

chain 1: 100%|[32m███████████████████████████████[0m| 203/203 [00:00: 40, |002000>: 195, |000200>: 83, |002200>: 69, |110202>: 4, |202220>: 18, |222002>: 4, |222020>: 10, |002222>: 15, |020202>: 17, |200202>: 2, |022000>: 4, |020002>: 13, |000000>: 183, |020220>: 3, |000002>: 76, |022200>: 4, |020020>: 3, |220020>: 22, |020200>: 10, |002002>: 27, |000022>: 35, |200200>: 43, |200000>: 40, |000020>: 2, |121002>: 2, |200002>: 9, |202000>: 11, |002020>: 11, |022002>: 7, |122021>: 3, |111120>: 4, |001210>: 1, |221001>: 5, |110200>: 1, |002220>: 11, |200222>: 4}

设置阈值探测器开始采样并输出Fock态结果

gbs.detector = 'threshold'
result = gbs.measure(shots=1024)
print(result)

chain 1: 100%|[32m██████████████████████████████[0m| 203/203 [00:00: 27, |000110>: 32, |110100>: 16, |101000>: 32, |101001>: 13, |011000>: 13, |001000>: 43, |101100>: 15, |010101>: 10, |011001>: 6, |100010>: 30, |101110>: 8, |110000>: 31, |010001>: 12, |011011>: 7, |001101>: 26, |111001>: 4, |000010>: 32, |001011>: 11, |001010>: 5, |111000>: 11, |100111>: 9, |010111>: 4, |001111>: 11, |010011>: 9, |011101>: 9, |000111>: 23, |001100>: 21, |000101>: 29, |111110>: 3, |010000>: 32, |001001>: 13, |111100>: 6, |100001>: 24, |110010>: 17, |001110>: 13, |000100>: 48, |011010>: 10, |100011>: 13, |101011>: 5, |010110>: 9, |011100>: 12, |110110>: 6, |100101>: 9, |000000>: 26, |000011>: 34, |010100>: 20, |111111>: 4, |000001>: 59, |110101>: 11, |101111>: 3, |011110>: 5, |011111>: 3, |110111>: 1, |110001>: 10, |110011>: 7, |111010>: 9, |101010>: 7, |111011>: 2}

附录

[1] Lvovsky, Alexander I. “Squeezed light.” Photonics: Scientific Foundations, Technology and Applications 1 (2015): 121-163.
[2] Bromley, Thomas R., et al. “Applications of near-term photonic quantum computers: software and algorithms.” Quantum Science and Technology 5.3 (2020): 034010.
[3] Quesada, Nicolás, Juan Miguel Arrazola, and Nathan Killoran. “Gaussian boson sampling using threshold detectors.” Physical Review A 98.6 (2018): 062322.
[4] J. M. Arrazola and T. R. Bromley, Physical Review Letters 121, 030503 (2018)

文档链接

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